Question

定义在R上的函数f（x）满足对任意x、y∈R恒有f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）不恒为0。（1）求f（1）和f

定义在R上的函数f（x）满足对任意x、y∈R恒有f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）不恒为0。（1）求f（1）和f（-1）的值；（2）试判断f（x）的奇偶性，并加以证明；（3）若x≥0时f（x）为增函数，求满足不等式f（x+1）-f（2-x）≤0的x的取值集合。

Answer 1

解：（1）令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1） ∴f（1）=0 令x=y=-1，得f（1）=f（-1）+f（-1） ∴f（-1）=0。 （2）令y=-1，由f（xy）=f（x）+f（y），得 f（-x）=f（x）+f（-1） 又f（-1）=0， ∴f（-x）=f（x）， 又f（x）不恒为0， ∴f（x）为偶函数。 （3）由f（x+1）-f（2-x）≤0，知f（x+1）≤f（2-x） 又由（2）知f（x）=f（|x|）， ∴f（|x+1|）≤f（|2-x|） 又∵f（x）在[0，+∞）上为增函数， ∴|x+1|≤|2-x| 故x的取值集合为 。