Question

已知双曲线C的焦点为F1（-2，0），F2（2，0），且经过P（2，3）．（1）求双曲线的标准方程；（2）问是否

已知双曲线C的焦点为F1（-2，0），F2（2，0），且经过P（2，3）．（1）求双曲线的标准方程；（2）问是否存在实数m使得直线l：y=mx+1交双曲线C于A，B两点，且线段AB的中点落在直线x+2y=0上，若存在求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设双曲线方程为

x2

a2

?

y2

b2

＝1（a＞0，b＞0），
则

a2+b2＝4 4 a2 ? 9 b2 ＝1

∴a=1，b=

3

，
∴双曲线的标准方程为x2?

y2

3

＝1；
（2）y=mx+1代入x2?

y2

3

＝1，整理可得（3-m²）x²-2mx-4=0，
∴线段AB的中点坐标为（

m

3?m2

，

3

3?m2

），
代入直线x+2y=0，可得

m

3?m2

+2×

3

3?m2

=0，
∴m=-6，此时△＜0，故不存在．