Question

已知f（x）=x3+3ax2+bx+a2，在x=-1时有极值0（1）求常数a，b的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）方程f

已知f（x）=x3+3ax2+bx+a2，在x=-1时有极值0（1）求常数a，b的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）方程f（x）=C在区间[-4，0]上有三个不同的实根时实数C的范围．

Answer 1

（1）由f（x）=x³+3ax²+bx+a²，得：f′（x）=3x²+6ax+b
因为f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1时有极值O，所以

f′(?1)＝0 f(?1)＝0

，
即

3?6a+b＝0 ?1+3a?b+a2＝0

，解得：

a＝1 b＝3

或

a＝2 b＝9

．
当a=1，b=3时，f（x）=x³+3x²+3x+1，
f′（x）=3x²+6x+3=3（x²+2x+1）=3（x+1）²≥0
所以函数f（x）=x³+3x²+3x+1在（-∞，+∞）上为增函数，
不满足在x=-1时有极值O，应