Question

将函数f（x）=arctanx展开成x的幂级数，并求级数∞n＝0(?1)n3n(2n+1)的和

将函数f（x）=arctanx展开成x的幂级数，并求级数∞n＝0(?1)n3n(2n+1)的和．

Answer 1

由于f′(x)＝

1

1+x2

＝

∞

n＝0

(?1)nx2n，（|x|＜1）
∴f(x)＝f(0)+

∫

x  0

f′(x)dx=

∫

x  0

[

∞

n＝0

(?1)nx2n]dx＝

∞

n＝0

(?1)n

x2n+1

2n+1

，（|x|＜1）
又f（x）在点x=±1处连续，而

∞

n＝0

(?1)n

x2n+1

2n+1

在点x=±1处收敛，
从而
f(x)＝

∞

n＝0

(?1)n

x2n+1

2n+1

（|x|≤1）
于是

∞

n＝0

(?1)n

3n(2n+1)

=

3

∞

n＝0

(?1)n

2n+1

?(

1

3

)2n+1
=

Answer 2