Question

已知数列{an}满足对一切n∈N*有an＞0，且a13+a23+…+an3=Sn2，其中Sn=a1+a2+…+an．（I）求证：对一切n∈

已知数列{an}满足对一切n∈N*有an＞0，且a13+a23+…+an3=Sn2，其中Sn=a1+a2+…+an．（I）求证：对一切n∈N*有an+12-an+1=2Sn；（II）求数列{an}通项公式；（Ⅲ）设数列{bn}满足bn=2n?an，Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn的表达式．

Answer 1

（I）∵a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，

a

3 1

+

a

3 2

+…+

a

3 n

+

a

3 n+1

＝

S

2 n+1

，
∴

S

2 n+1

?

S

2 n

＝

a

3 n+1

，
∴（S_n+1-S_n）（S_n+1+S_n）=

a

3 n+1

，
即an+1(Sn+1+Sn)＝

a

3 n+1

，又a_n+1＞0，
∴Sn+1+Sn＝

a

2 n+1

，∴2Sn+an+1＝

a

2 n+1

，
∴a_n+1²-a_n+1=2S_n；
（II）当n≥2时，
由a_n+1²-a_n+1=2S_n及

a

2 n

?an＝2Sn?1可得（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=a_n+1+a_n，
∵a_n+1+a_n＞0，∴a_n+1-a_n=1，（*）
当n=1时，

a

3 1

＝

S

2 1

＝

a

2 1

，a₁＞0，可得a₁=1，
当n=2时，

a

3 1

+

a

3 2

＝

S

2 2

，得到1+

a

3 2

＝(1+a2)2，及a₂＞0，解得a₂=2．
a₂-a₁=1也满足（*）．
∴数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，其通项公式a_n=1+（n-1）×1=n．
（III）∵b_n=2ⁿ?a_n═n?2ⁿ，∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n?2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹
=

2×(2n?1)

2?1

?n?2n+1=2ⁿ⁺¹-2-n?2ⁿ⁺¹=（1-n）?2ⁿ⁺¹-2，
∴Tn＝(n?1)?2n+1+2．

Answer 2