Question

如图．矩形ABCD中，AB=1，BC=2，将矩形ABCD绕D点顺时针旋转90°得矩形A′B′C′D，再将矩形A′B′C′D绕C

如图．矩形ABCD中，AB=1，BC=2，将矩形ABCD绕D点顺时针旋转90°得矩形A′B′C′D，再将矩形A′B′C′D绕C′顺时针旋转90°得矩形A″B″C′D′．（1）求两次旋转点A经历的轨迹的总长度；（2）求阴影部分①的面积；（3）求阴影部分②的面积（在直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么它所对的角等于30度．）．

Answer 1

（1）连接AC，在Rt△ABC中， ∵AB=1，BC=2， ∴根据勾股定理得：AC= AB 2 + BC 2 = 5 ， 由旋转可知A′C′=A″C″= 5 ，A′D=AD=BC=2， 又A′B′=C′D′，∠A′B′C′=∠A″D′C′=90°，B′C′=D′A″， ∴△AB′C′≌△C′D′A″（SAS）， ∴∠AC′B′=∠C′A″D′，又∠C′A″D′+∠D′C′A″=90°， ∴∠C′A″D′+∠AC′B=90°，即∠A′C′A″=90°， 则两次旋转点A经历的轨迹的总长度为 AA′ + A′A″ = 90π×2 180 + 90π× 5 180 = π+ 5 2 π ； （2）∵△AB′C′≌△C′D′A″，且两三角形面积都为矩形面积的一半， ∴阴影部分①的面积S=S 扇形A′C′A″ -2S △AB′C′ =S 扇形A′C′A″ -S 矩形 = 90π× ( 5 ) 2 360 -1×2= 5 4 π-2 ； （3）∵ED=A′D=AD=BC=2，CD=AB=1，且∠ECD=90°， ∴∠CED=30°，又BC ∥ AD， ∴∠ADE=30°， 又在Rt△ECD中，ED=2，CD=1， 根据勾股定理得：EC= ED 2 - CD 2 = 3 ， 则阴影部分②的面积S=S 扇形ADE +S △ECD = 30π× 2 2 360 + 1 2 × 3 ×1= 1 3 π+ 3 2 ．