Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率 e= 1 2 ，一个顶点的坐标为 (0， 3

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率 e= 1 2 ，一个顶点的坐标为 (0， 3 ) ．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于M，N两点且 AM ? AN =0 ，试问：是否存在实数λ，使得S △FMN =λS △AMN 成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意设椭圆的标准方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) ， ∵ e= c a = 1 2 ， b= 3 ， ∴a 2 -c 2 =3，解得：a=2． ∴椭圆C的方程为 x 2 4 + y 2 3 =1 ．------------------（5分） （2）设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）， 由 y=kx+m x 2 4 + y 2 3 =1 得（3+4k 2 ）x 2 +8mkx+4（m 2 -3）=0， △=64m 2 k 2 -16（3+4k 2 ）（m 2 -3）＞0， ∴3+4k 2 -m 2 ＞0． ? x 1 + x 2 =- 8mk 3+4 k 2 ， x 1 ? x 2 = 4( m 2 -3) 3+4 k 2 ． y 1 ? y 2 =(k x 1 +m)?(k x 2 +m)= k 2 x 1 x 2 +mk( x 1 + x 2 )+ m 2 = 3( m 2 -4 k 2 ) 3+4 k 2 ． ∵A（2，0）， ∴ AM ? AN =( x 1 -2)( x 2 -2)+ y 1 y 2 =0 ， ∴y 1 y 2 +x 1 x 2 -2（x 1 +x 2 ）+4=0， ∴ 3( m 2 -4 k 2 ) 3+4 k 2 + 4( m 2 -3) 3+4 k 2 + 16mk 3+4 k 2 +4=0 ， ∴7m 2 +16mk+4k 2 =0，解得 m 1 =-2k， m 2 =- 2k 7 ，且满足3+4k 2 -m 2 ＞0． 当m=-2k时，l：y=k（x-2），直线过定点（2，0），与已知矛盾； 当 m=- 2k 7 时， l：y=k(x- 2 7 ) ，直线过定点 P( 2 7 ，0) ． 综上可知，直线l过定点，定点坐标为 P( 2 7 ，0) ． F（-1，0），S △FMN ：S △AMN =|PF|：|AP|=3：4. S △FMN = 3 4 S △AMN ． ∴存在 λ= 3 4 ，使得 S △FMN = 3 4 S △AMN ．------------------（12分）