Question

如图，一倾角为θ=30°的足够长固定光滑斜面底端有一与斜面垂直的挡板M，物块A、B之间用一与斜面平行的轻

如图，一倾角为θ=30°的足够长固定光滑斜面底端有一与斜面垂直的挡板M，物块A、B之间用一与斜面平行的轻质弹簧连接且静止在斜面上．现用外力沿斜面向下缓慢推动物块B，当弹簧具有5J的弹性势能时撤去推力，释放物块B．已知物块A、B的质量分别为5kg和10kg，弹簧的弹性势能的表达式为 E P = 1 2 k x 2 ，其中弹簧的劲度系数为k=1000N/m，x为弹簧的形变量，g=10m/s 2 ．求（1）撤掉外力时，物块B的加速度大小；（2）外力在推动物块B的过程中所做的功；（3）试判断物块A能否离开挡板M？若A能离开挡板M，求出物块A刚离开挡板M时，物块B的动能；若A不能离开挡板M，求出物块A与挡板M之间的最小作用力．

Answer 1

（1）弹簧具有的势能为E P =5J， E P = 1 2 k x 1 2 = 1 2 ×1000x 1 2 =5， 解得，弹簧的压缩量：x 1 =0.1m， 撤掉外力时，由牛顿第二定律得： kx 1 -m B gsinθ=m B a， 解得，物块B的加速度：a=5m/s 2 ； （2）物块B静止在斜面上时， 由平衡条件得：kx 0 =m B gsinθ， 解得：x 0 =0.05m， 外力推动物块B所做的功： W= E P - 1 2 k x 0 2 - m B gsinθ( x 1 - x 0 ) ， 代入数据解得：W=1.25J； （3）假设物块A刚好离开挡板M， 弹簧的伸长量x 2 kx 2 =m A gsinθ， 解得：x 2 =0.025m， 此时弹簧的弹性势能和重力势能的增加量之和： E= 1 2 k x 2 2 + m B gsinθ( x 1 + x 2 ) =6.5625J＞E P =5J， 故物块A未离开挡板M． 设物块B上滑到速度为零时，弹簧的形变量为x 3 若弹簧处于压缩状态： E P = 1 2 k x 3 2 + m B gsinθ( x 1 - x 3 ) ， x 31 =0，x 32 =0.1m（不合理舍掉）， 若弹簧处于伸长状态： E P = 1 2 k x 3 2 + m B gsinθ( x 1 + x 3 ) 解得：x 31 =0，x 32 =-0.1m（不合理舍掉）， 综上可得，物块B的速度为零时，弹簧恰好处于原长， 此时物块A对挡板的作用力最小，作用力F=m A gsinθ=25N； 答：（1）撤掉外力时，物块B的加速度为5m/s 2 ； （2）外力在推动物块B的过程中所做的功为1.25J； （3）物块A不能离开挡板M；物块A与挡板M之间的最小作用力为25N．