Question

已知x，y，z为正数，满足x2+y2+z2=1，则S＝1+z2xyz的最小值为______

已知x，y，z为正数，满足x2+y2+z2=1，则S＝1+z2xyz的最小值为______．

Answer 1

由题意可得，0＜z＜1，0＜1-z＜1
∴z（1-z）≤(

z+1?z

2

)2=

1

4

（当且仅当z=1-z即z=

1

2

时取等号）
∵x²+y²+z²=1
∴1-z²=x²+y²≥2xy（当且仅当x=y时取等号）
∴

1?z2

2xy

≥1即

(1?z)(1+z)

2xy

≥1
∵1-z＞0
∴

1+z

2xy

≥

1

1?z

∴

1+z

2xyz

≥

1

z(1?z)

≥4（当且仅当x=y=

6

4

，z=

1

2

时取等号）
则S＝

1+z

2xyz

的最小值4
故答案为：4