Question

如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC（AB＞AE）．（1）求证：△AEF∽△DCE；（2）△

如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC（AB＞AE）．（1）求证：△AEF∽△DCE；（2）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（3）设ABBC=k，若△AEF∽△BCF，则k=______（请直接写出结果）．

Answer 1

解：（1）∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90°，即∠AEF+∠DEC=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠DEC=∠AFE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△AEF∽△DCE；
（2）△AEF∽△ECF．证明如下：
延长FE与CD的延长线交于G，
∵E为AD的中点，AE=DE，∠AEF=∠GED，
∴Rt△AEF≌Rt△DEG．
∴EF=EG．
∵CE=CE，∠FEC=∠CEG=90°，
∴Rt△EFC≌Rt△EGC．
∴∠AFE=∠EGC=∠EFC．
又∵∠A=∠FEC=90°，
∴Rt△AEF∽Rt△ECF；
（3）设AD=2x，AB=b，DG=AF=a，则FB=b-a，
∵∠GEC=90°，ED⊥CD，
∴ED²=GD?CD
∴x²=ab，
假定△AEF与△BFC相似，则有两种情况：
当∠AFE=∠BCF，则有∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC=90°，因此此种情况是不成立的；
当∠AFE=∠BFC，
∵△AEF∽△BCF，
∴

AF

AE

=

BF

BC

，即

a

x

=

b?a

2x

，
整理得：b=3a，
∴x²=ab=3a²，即x=

3

a，
则k=

AB

BC

=

b

2x

=

3a

2 3 a

=

3

2

．
故答案为：

3

2

．