Question

已知函数f（x）=x2+ax+3-a，a∈R．（1）求a的取值范围，使y=f（x）在闭区间[-1，3]上是单调函数；（2）当

已知函数f（x）=x2+ax+3-a，a∈R．（1）求a的取值范围，使y=f（x）在闭区间[-1，3]上是单调函数；（2）当0≤x≤2时，函数y=f（x）的最小值是关于a的函数m（a）．求m（a）的最大值及其相应的a值；（3）对于a∈R，研究函数y=f（x）的图象与函数y=|x2-2x-3|的图象公共点的个数、坐标，并写出你的研究结论．

Answer 1

（1）函数f（x）=x²+ax+3-a图象的对称轴为x=-

a

2

．
因为f（x）在闭区间[-1，3]上是单调函数，所以-

a

2

≤-1或-

a

2

≥3．
故a≤-6，或a≥2．…（4分）
（2）当a≥0时，m（a）=f（0）=3-a；
当-4≤a＜0时，m（a）=f（-

a

2

）=-

1

4

a²-a+3；
当a＜-4时，m（a）=f（2）=a+7．…（2分）
所以，m（a）=

a+7，a＜?4 ? 1 4 a2?a+3，?4≤a＜0 3?a，a≥0

，
分段讨论并比较大小得，当a=-2时，m（a）有最大值4．…（6分）
（3）公共点的横坐标x满足x²+ax+3-a=|x²-2x-3|．
即x是方程a（x-1）=|x²-2x-3|-x²-3的实数解．
设h（x）=|x²-2x-3|-x²-3，
则直线y=a（x-1）与y=h（x）有公共点时的横坐标与上述问题等价．
当x≤-1或x≥3时，h（x）=|x²-2x-3|-x²-3=-2x-6；
解方程-2x-6=a（x-1），即（a+2）x=a-6，得x=

a?6

a+2

，a≠-2；…（1分）
当-1≤x≤3时，h（x）=|x²-2x-3|-x²-3=-2x²+2x．
解方程-2x²+2x=a（x-1），
即2x²+（a-2）x-a=0，得x＝?

a

2

或x=1；…（2分）
研究结论及评分示例：（满分6分）
结论1：无论a取何实数值，点（1，4）必为两函数图象的公共点．…（1分）
结论2：（对某些具体的a取值进行研究）．…（2分）
当a=-2时，两图象有一个公共点（1，4）；
当a=-6时，公共点有2个，坐标为（1，4），（3，0）；
当a=2时，公共点有2个，坐标为（1，4）、（-1，0）．
（对每一个具体的a取值，结论正确给（1分），总分值不超过2分）
结论3：当-2＜a＜2，-6＜a＜-2时，公共点有3个，
坐标为（1，4）、（-

a

2

，|

a2

4

+a?3|）、（

a?6

a+2

，

|a2?17a+42|

(a+2)2

）．…（4分）