Question

已知函数f（x）=（x2-2x）?lnx+ax2+2（Ⅰ）当a=-1时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设函

已知函数f（x）=（x2-2x）?lnx+ax2+2（Ⅰ）当a=-1时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）-x-2；（i）若函数g（x）有且仅有一个零点时，求a的值；（ii）在（i）的条件下，若e-2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=（x²-2x）?lnx-x²+2，定义域（0，+∞）
∴f′（x）=（2x-2）?lnx+（x-2）-2x．…（1分）
∴f′（1）=3，
又f（1）=1，
∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程3x+y-4=0 …（2分）
（Ⅱ）（ⅰ）令g（x）=f（x）-x-2=0
则=（x²-2x）?lnx+ax²+2=x+2，即a=

1?(x?2)lnx

x

                …（4分）
令h（x）=

1?(x?2)lnx

x

，
则h′（x）=

1?x?2lnx

x2

令t（x）=1-x-2lnx，则t′（x）=

?x?2

2

∵x＞0，∴t′（x）＜0，
∴t（x）在（0，+∞）上是减函数…（6分）
又∵t（1）=h′（1）=0，
∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴h（x）_max=h（1）=1，
∴当函数g（x）有且仅有一个零点时a=1     …（8分）
（ⅱ）当a=1时，g（x）=（x²-2x）?lnx+x²-x，
若e^-2＜x＜e，g（x）≤m，只需证明g（x）_max≤m，
∴g′（x）=（x-1）（3+2lnx），
令g′（x）=0得x=1或x=e?

3

2

          …（11分）
又∵e^-2＜x＜e，
∴函数g（x）在（e^-2，e?

3

2

 ）上单调递增，在（e?

3

2

，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增
又g（e?

3

2

 ）=-

1

2

e^-3+2e?

3

2

，g（e）=2e²-3e
∵g（e?

3

2

 ）=-

1

2

e^-3+2e?

3

2

＜2e?

3

2

＜2e＜2e（e-

3

2

）=g（e），
∴g（e?

3

2

 ）＜g（e），
∴m≥2e²-3e…（14分）