Question

设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（x）＞0，则方程∫xaf(t)dt+∫xb1f(t)dt=0在开区间（a，b）内的

设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（x）＞0，则方程∫xaf(t)dt+∫xb1f(t)dt=0在开区间（a，b）内的根有（　　）A．0B．1C．2D．无穷多个

Answer 1

解；  设F(x)

＝∫

x a

f(t)dt

+∫

x b

1

f(t)

dt，则F（x）在x∈[a，b]连续，并且F(a)

＝∫

a b

1

f(t)

dt，F(b)＝

∫

b a

f(t)dt
而f（x）＞0，x∈[a，b]
∴F（a）＜0，F（b）＞0
∴根据零点定理有，至少存在一点ξ∈（a，b），使得：F（ξ）=0
又F′(x)＝f(x)+

1

f(x)

＞0，x∈[a，b]
∴F（x）在[a，b]单调递增
∴F（x）在（a，b）只有一个零点
即方程

∫

x a

f(t)dt

+∫

x b

1

f(t)

dt＝0在（a，b）只有一个根