Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的直线交椭圆x24+y22=1于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x

如图，在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的直线交椭圆x24+y22=1于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．（1）当k=2时，求点P到直线AB的距离；（2）对任意k＞0，求证：PA⊥PB．

Answer 1

解答：（1）解：直线PA的方程为y=2x，
代入椭圆方程得

x2

4

+

4x2

2

＝1，
解得x=±

2

3

，
因此P（

2

3

，

4

3

），A（-

2

3

，-

4

3

），
于是C（

2

3

，0），直线AC的斜率为

0+ 4 3

2 3 + 2 3

=1，
故直线AB的方程为x-y-

2

3

=0．
因此，点P到直线AB的距离为

| 2 3 ? 4 3 ? 2 3 |

12+12

=

2 2

3

．
（2）证明：设P（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁＞0，x₂＞0，x₁≠x₂，A（-x₁，-y₁），C（x₁，0），
设直线PA，PB的斜率分别为k_PA，k_PB，
kPA＝

y1

x1

，kPB＝

y1?y2

x1?x2

，
∵

x12

4

+

y12

2

＝1，①，

x22

4

+

y22

2

＝1，②
①-②得：

y12?y22

x12?x22

=

(y1?y2)(y1+y2)

(x1?x2)(x1+x2)

=-

1

2

，
∵k_AB=

y1+y2

x1+x2

=k_AC=

y1

2x1

，
∴k_PA?k_PB=-1，
∴PA⊥PB．