已知函数f(x)=ex(sinx-cosx),x∈(0,2013π),则函数f(x)的极大值之和为( )A.e2π(1?e201
已知函数f(x)=ex(sinx-cosx),x∈(0,2013π),则函数f(x)的极大值之和为()A.e2π(1?e2012π)e2π?1B.eπ(1?e2012π)...
已知函数f(x)=ex(sinx-cosx),x∈(0,2013π),则函数f(x)的极大值之和为( )A.e2π(1?e2012π)e2π?1B.eπ(1?e2012π)1?e2πC.eπ(1?e1006π)1?e2πD.eπ(1?e1006π)1?eπ
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∵函数f(x)=ex(sinx-cosx),
∴f′(x)=(ex)′(sinx-cosx)+ex(sinx-cosx)′=2exsinx,
∵x∈(2kπ,2kπ+π)(k∈Z)时,f′(x)>0,x∈(2kπ+π,2kπ+2π)(k∈Z)时,f′(x)<0,
∴x∈(2kπ,2kπ+π)(k∈Z)时f(x)递增,x∈(2kπ+π,2kπ+2π)(k∈Z)时f(x)递减,
∴当x=2kπ+π(k∈Z)时,f(x)取极大值,
其极大值为f(2kπ+π)=e2kπ+π[sin(2kπ+π)-cos(2kπ+π)]
=e2kπ+π×(0-(-1))
=e2kπ+π,
又x∈(0,2013π),
∴函数f(x)的各极大值之和S=eπ+e3π+e5π+…+e2011π
═
=
.
故选:B.
∴f′(x)=(ex)′(sinx-cosx)+ex(sinx-cosx)′=2exsinx,
∵x∈(2kπ,2kπ+π)(k∈Z)时,f′(x)>0,x∈(2kπ+π,2kπ+2π)(k∈Z)时,f′(x)<0,
∴x∈(2kπ,2kπ+π)(k∈Z)时f(x)递增,x∈(2kπ+π,2kπ+2π)(k∈Z)时f(x)递减,
∴当x=2kπ+π(k∈Z)时,f(x)取极大值,
其极大值为f(2kπ+π)=e2kπ+π[sin(2kπ+π)-cos(2kπ+π)]
=e2kπ+π×(0-(-1))
=e2kπ+π,
又x∈(0,2013π),
∴函数f(x)的各极大值之和S=eπ+e3π+e5π+…+e2011π
═
eπ(1?e2π×1006) |
1?e2π |
eπ(1?e2012π) |
1?e2π |
故选:B.
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