Question

概率题。求答案过程！

设随机变量x服从(-1/2,1/2)上的均匀分布,又y=g(x)=lnx,x>0 0,x<=0
求Y=g(X)的数学期望和方差

Answer 1

设随机变量x服从(-1/2,1/2)上的均匀分布,

又y=g(x)=lnx, x>0; y=g(x)= 0, x≤0.

求Y=g(X)的数学期望和方差.

答: f(y) = f(x)/|g(x)| = 1/(1/x) = x = e^y, y≤ln(1/2);

f(y)=(1/2) δ(y), 在 y=0时.

f(y)=0, 其它.

E(Y)= ∫ yf(y)dy = ∫ [-∞, ln(1/2)] yf(y)dy + ∫ [0-, 0+] y(1/2) δ(y)dy

= ∫ [-∞, ln(1/2)] y(e^y)dy + ∫ [0-, 0+] (0)(1/2) δ(y)dy

= ∫ [-∞, ln(1/2)] y(e^y)dy + 0

= ∫ [-∞, ln(1/2)] y(de^y)  --- 用分部积分

= y(e^y)| [-∞, ln(1/2)] - ∫ [-∞, ln(1/2)] (e^y)dy 

= (1/2)(ln(1/2) - 1)

D(Y)=E(Y^2)-(E(Y))^2 ---- 你会的.