Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（3，0），连接

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（3，0），连接BC。 （1）求证：△ABC是等边三角形；（2）点P在线段BC的延长线上，连接AP，作AP的垂直平分线，垂足为点D，并与y轴交于点E，分别连接EA、EC、EP。①若CP=6，直接写出∠AEP的度数； ②若点P在线段BC的延长线上运动（P不与点C重合），∠AEP的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠AEP的度数；（3）在（2）的条件下，若P从C点出发在BC的延长线上匀速运动，速度为每秒1个单位长度EC与AP交于点F，设△AEF的面积为S 1 ，△CEP的面积为S 2 ，y=S 1 -S 2 ，运动时间为t（t>0）秒时，求y关于t的函数关系式。

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Answer 1

解：（1）如图（1） ∵一次函数 的图象与x轴交于点A（-3，0），与y轴交于点B（0，3 ） ∵C（3，0） ∴OA=OC 又y轴⊥AC， ∴AB=BC 在Rt△AOB中，tan∠BAO=BO/AO= ∴∠BAC=60° ∴△ABC是等边三角形；
（2）解：①∠AEP=20°， ②如图（2）， 作EH⊥CP于点H， ∵y轴垂直平分AC，△ABC是等边三角形， ∴EA=EC，∠BEA=∠BEC= ∠AEC，∠EBP=30°， ∴∠BEH=60°， ∵ED垂直平分AP， ∴EA=EP， ∴EA=EC=EP， ∴EH垂直平分CP， ∴在△CEP中，∠CEH=∠PEH= ∠PEC， ∵∠BEH=∠BEC+∠CEH= ∠AEC+ ∠PEC=60°， ∴∠AEP=∠AEC+∠PEC=120°； （3）如图（2），作PC⊥x轴于点G， 在Rt△PGC中，PC=t，CG=t/2，PG= t， 在Rt△BEH 中，EH= ∴  又y =S 1 -S 2 =（S 1 +S △ACF ）-（S 2 +S △ACF ） =S △EAC -S △PAC ， S△EAC= AC·EO= ， S △PAC = AC·PG= ， ∴ 。