Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，BD= 3 ，PD⊥底面ABCD（1）证明

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，BD= 3 ，PD⊥底面ABCD（1）证明：AD⊥BD；（2）若二面角P-BC-D为 π 6 ，求AP与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

（1）证明：因为AB=2AD=2，BD= 3 ，所以AD=BC=1，CD=AB=2， ∴CD 2 =BC 2 +BD 2 ，∴BC⊥BD， ∵底面ABCD为平行四边形， ∴AD⊥BD． 而BC?平面PBC， ∴平面PBC⊥平面PBD…（5分） （2）∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC， 又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD 所以∠PBD即为二面角P-BC-D的平面角，即∠PBD= π 6 ， 而BD= 3 ，所以PD=1…（7分） 分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0， 3 ，0），C（ -1， 3 ，0 ），P（0，0，1） 所以 AP =(-1，0，1)， BC =(-1，0，0)， BP =(0，- 3 ，1) ，设平面PBC的法向量 n =(a，b，c) ， 则 n ? BC =0 n ? BP =0 ，即 a=0 - 3 b+c=0 ，可得平面的一个法向量为 n =(0，1， 3 ) ． ∴AP与平面PBC所成角的正弦值为 sinθ= | AP ? n | | AP ?| n || = 3 2 2 = 6 4 ．…（12分）