Question

抛物线C：y 2 =2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C上点M的横坐标为2，且|MF|=3．（1）求抛物线C的方程；（2）

抛物线C：y 2 =2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C上点M的横坐标为2，且|MF|=3．（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F作两条相互垂直的直线，分别与抛物线C交于M、N和P、Q四点，求四边形MPNQ面积的最小值．

Answer 1

（1）由已知： 2+ P 2 =3∴P=3 故抛物线C的方程为：y 2 =4x…（4分） （2）由（1）知：F（1，0） 设MN：x=my+1， PQ：x=- 1 m y+1(m≠0) …（6分） 由 x=my+1 y 2 =4x 得：y 2 -4my-4=0 ∵△=16m 2 +16=16（m 2 +1）＞0 ∴ |MN|= 1+ m 2 ?4? m 2 +1 =4( m 2 +1) …（8分） 同理： |PQ|=4( 1 m 2 +1) …（10分）． ∴四边形MPNQ的面积： S= 1 2 |MN||PQ|=8( m 2 +1)( 1 m 2 +1) = 8( m 2 + 1 m 2 +2)≥32 （当且仅当 m 2 = 1 m 2 即：m=±1时等号成立） ∴四边形MPNQ的面积的最小值为32．…（12分）