证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+

证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得OA=xOB+yOC+zOD．... 证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得 OA =x OB +y OC +z OD ． 展开
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1个回答
#热议# 为什么说不要把裤子提到肚脐眼？
忧郁微笑5294
推荐于2017-09-18 · 超过68用户采纳过TA的回答
知道答主
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（必要性）依题意知，B、C、D三点不共线，
则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面
?对空间任一点O，存在实数x 1 、y 1 ，使得
OA
=
OB
+x 1
BC
+y 1
BD

=
OB
+x 1 （
OC
-
OB
）+y 1 （
OD
-
OB
）
=（1-x 1 -y 1 ）
OB
+x 1
OC
+y 1
OD
，
取x=1-x 1 -y 1 、y=x 1 、z=y 1 ，
则有
OA
=x
OB
+y
OC
+z
OD
，且x+y+z=1．
（充分性）对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得
OA
=x
OB
+y
OC
+z
OD
．
所以x=1-y-z得
OA
=（1-y-z）
OB
+y
OC
+z
OD
．
OA
=
OB
+y
BC
+z
BD
，即：
BA
=y
BC
+z
BD
，
所以四点A、B、C、D共面．
所以，空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：
对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得
OA
=x
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