Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点，若PA＝AD＝3，CD＝6①

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点，若PA＝AD＝3，CD＝6①求证：AF∥平面PCE②求证：平面PCE⊥平面PCD③求直线FC与平面PCE所成角的正弦值．

Answer 1

①取PC中点G，连接EG，FG；又由F为PD中点
∴FG

∥ .

.

1

2

CD
又∵AE

∥ .

.

1

2

CD
∴FG

∥ .

.

AE，即可得四边形AEFG是平行四边形
∴AF∥EG
又AF?平面PCE，EG?平面PCE
∴AF∥平面PCE
②∵PA⊥平面ABCD
∴平面PAD⊥平面ABCD
∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，又AF在面PAD内
∴CD⊥AF
∵PA=AD，F为PD中点
∴AF⊥PD，又∵PD∩CD=D
∴AF⊥平面PCD
又∵EG∥AF
∴EG⊥平面PCD
又∵EG?平面PCE
∴平面PCE⊥平面PCD（8分）
③在平面PCD内作FH⊥PC，则FH⊥平面PCE
∴∠FCH是FC与平面PCE所成的角
在△FCH中，FH＝

3 2

4

，FC＝

42

2

∴sin∠FCH＝

21

14

∴直线FC与平面PCE所成角的正弦值为

21

14

（12分）