Question

设α1=（1，0，1，0）T，α2=（1，1，0，1）T，而β1，β2为齐次线性方程组Ax=0的任一组基础解系，其中A=

设α1=（1，0，1，0）T，α2=（1，1，0，1）T，而β1，β2为齐次线性方程组Ax=0的任一组基础解系，其中A=101 0110 1，试判断矩阵P=（α1，α2，β1，β2）是否可逆，为什么？

Answer 1

依题意Aβ₁=0．Aβ₂=0，而
A=

α1T α2T

，所以
β₁，β₂均与α₁和α₂正交．
若k₁α₁+k₂α₂+k₃β₁+k₄β₂=0，
则以（k₃β₁+k₄β₂）^T左乘等式两边，并注意到
k₃β₁+k₄β₂也与α₁和α₂正交，得
（k₃β₁+k₄β₂）^T（k₃β₁+k₄β₂）=0，
所以k₃β₁+k₄β₂=0，而
β₁，β₂作为AX=0的基础解系当然是线性无关的，于是
k₃=k₄=0，故有
k₁α₁+k₂α₂=0，
而α₁，α₂显然线性无关，则
k₁=k₂=0，
综上知α₁，α₂，β₁，β₂线性无关．
所以P可逆．