Question

已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，?2b?ca＝cosCcosA．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的

已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，?2b?ca＝cosCcosA．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积S=3，求△ABC周长的最小值．

Answer 1

（1）△ABC中，

?2b?c

a

=

cosC

cosA

，
由正弦定理，得：

?2sinB?sinC

sinA

=

cosC

cosA

，
即-2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC，
∴-2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，
∴cosA=-

1

2

，
则A=

2π

3

；
（2）∵A=

2π

3

，且S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc=

3

，
∴bc=4，
由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²+bc≥2bc+bc=3bc=12，
∴a≥2

3

，
又b+c≥2

bc

=4，
当且仅当b=c=2时，a的最小值为2

3

，b+c的最小值为4，
则周长a+b+c的最小值为4+2

3

．