Question

在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（

在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足为M，交∠CBE的平分线于点N．（1）写出点C的坐标；（2）求证：MD=MN；（3）连接DN交BC于点F，连接FM，下列两个结论：①FM的长度不变；②MN平分∠FMB，其中只有一个结论是正确的，请你指出正确的结论，并给出证明．

Answer 1

解答：解：（1）C（2，2）；

（2）在OD上取OH=OM，连接HM，
∵OD=OB，OH=OM，
∴HD=MB，∠OHM=∠OMH，
∴∠DHM=180-45=135°，
∵NB平分∠CBE，
∴∠NBE=45°，
∴∠NBM=180-45=135°，
∴∠DHM=∠NBM，
∵∠DMN=90°，
∴∠DMO+∠NMB=90°，
∵∠HDM+∠DMO=90°，
∴∠HDM=∠NMB，
在△DHM和△MBN中，

∠HDM＝∠NMB DH＝MB ∠DHM＝∠NBM

，
∴△DHM≌△MBN（ASA），
∴DM=MN．

（3）MN平分∠FMB成立．证明如下：
在BO延长线上取OA=CF，可证△DOA≌△DCF，△DMA≌△DMF，
FM=MA=OM+CF（不为定值），∠DFM=∠DAM=∠DFC，
过M作MP⊥DN于P，则∠FMP=∠CDF，
由（2）可知∠NMF+∠FMP=∠PMN=45°，
∠NMB=∠MDH，∠MDO+∠CDF=45°，
进一步得∠NMB=∠NMF，即MN平分∠FMB．