Question

已知数列{an}是一个公差大于零的等差数列，且a1a5=45，a2+a4=18，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=2bn-2．（

已知数列{an}是一个公差大于零的等差数列，且a1a5=45，a2+a4=18，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=2bn-2．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设cn=an?bn，求数列{cn}的前n项和Tn；（3）将数列{bn}中第a1项，第a2项，…，第an项，…删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{dn}，求数列{dn}的前2014项和M2014．

Answer 1

（1）∵等差数列{a_n}公差d＞0，且a₁a₅=45，a₂+a₄=18，
∴

a1(a1+4d)＝45 2a1+4d＝18

，解得

a1＝3 d＝3

．
∴a_n=3+3（n-1）=3n．
∵数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=2b_n-2．
∴n=1时b₁=2b₁-2，解得b₁=2．当n≥2时，
b_n=S_n-S_n-1=2b_n-2-（2b_n-1-2），化为b_n=2b_n-1，
∴数列{b_n}是等比数列，b_n=2ⁿ．
（2）c_n=a_n?b_n=3n?2ⁿ，则数列{c_n}的前n项和T_n=3（2+2×2²+3×2³+…+n?2ⁿ），
2T_n=3[2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹]，
两式相减可得：-T_n=3（2+2²+…+2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹）=

3×2(2n?1)

2?1

?3n?2n+1=3（1-n）?2ⁿ⁺¹-6，
化为T_n=6+3（n-1）?2ⁿ⁺¹．
（3）将数列{b_n}中第a₁项，第a₂项，…，第a_n项，…删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{d_n}，
则d₁=b₁=2，d₂=b2＝22，d₃=b₄=2⁴，d4＝25，…，
则其奇数项与偶数项分别组成公比均为8的等比数列．
数列{d_n}的前2014项和M₂₀₁₄=（d₁+d₃+…+d₂₀₁₃）+（d₂+d₄+…+d₂₀₁₄）
=

2(81007?1)

8?1

+

4(81007?1)

8?1

=

6(81007?1)

7

．