Question

已知函数f（x）=ln（2ax+1）+x33-x2-2ax（a∈R），（Ⅰ）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取

已知函数f（x）=ln（2ax+1）+x33-x2-2ax（a∈R），（Ⅰ）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=-12时，方程f（1-x）=(1?x)33+bx有实根，求实数b的最大值．

Answer 1

（I）因为函数y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，
所以f′（x）=

x[2ax2+(1?4a)x?(4a2+2)]

2ax+1

≥0在[3，+∞）上恒成立
当a=0时，f′（x）=x（x-2）≥0在[3，+∞）上恒成立，
所以y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，故a=0符合题意
当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知，必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，
所以2ax²+（1-4a）x-（4a²+2）≥0在[3，+∞）上恒成立
令函数g（x）=2ax²+（1-4a）x-（4a²+2），其对称轴为x=1-

1

4a

，
因为a＞0，所以1-

1

4a

＜1，
要使g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可，
即g（3）=-4a²+6a+1≥0，
所以

3? 13

4

≤a≤

3+ 13

4

，
因为a＞0，所以0＜a≤

3+ 13

4

，
综上所述，a的取值范围为[0，

3+ 13

4

]；
（Ⅱ）当a=-

1

2

时，方程f（1-x）=

(1?x)3

3

+

b

x

有实根，等价于b=xlnx+x²-x³在（0，+∞）上有解，
即求g（x）=xlnx+x²-x³的值域．
令h（x）=lnx+x-x²（x＞0），则h′（x）=

(2x+1)(1?x)

x

，
∴0＜x＜1时，h′（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数，
当x＞1时h′（x）＜0，从而h（x）在（1，+∞）上为减函数，
∴h（x）≤h（1）=0，
∵x＞0，
∴b=xh（x）≤0，
∴x=1时，b取得最大值0．