Question

已知如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于B（1，0）、C（4，0）两点，与y轴的正半轴相交于A点，过A、B、C三

已知如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于B（1，0）、C（4，0）两点，与y轴的正半轴相交于A点，过A、B、C三点的⊙P与y轴相切于点A．M为y轴负半轴上的一个动点，直线MB交⊙P于点D，交抛物线于点N．（1）请求出点A坐标和⊙P的半径；（2）请确定抛物线的解析式；（3）若S△BNC：S△AOB=15：2，求N点坐标；（4）若△AOB与以A、B、D为顶点的三角形相似，求MB?MD的值．（先画出符合题意的示意图再求解）

Answer 1

（1）A点坐标是（0，2），⊙P的半径长为

5

2

；

（2）抛物线的解析式是：y=

1

2

x²-

5

2

x+2；

（3）设N点坐标为（x₀，y₀），
由题意有

1

2

BC?|y₀|=

1

2

OA?OB×

15

2

∴

1

2

×3y₀=

1

2

×2×1×

15

2

解得y₀=5
∵N点在抛物线上
∴

1

2

x₀²-

5

2

x₀+2=5
解得x₀=6或x₀=-1（不合题意，舍去）
∴N点的坐标为（6，5）；

（4）根据题意∠OAB=∠ADB，
所以△AOB和△ABD相似有两种情况
①∠ABD和∠AOB对应，此时AD是⊙P的直径
则AB=

5

，AD=5
∴BD=2

5

∵Rt△AMB∽Rt△DAB
∴MA：AD=AB：BD即MA=

AB?AD

BD

＝

5

2

∵Rt△AMB∽Rt△DMA
∴MA：MD=MB：MA
即MB?MD=MA²=

25

4

．
②∠BAD和∠AOB对应，此时BD是⊙P的直径，
所以直线MB过P点
∵B（1，0），P（

5

2

，2）
∴直线MB的解析式是：y=

4

3

x-

4

3

∴M点的坐标为（0，-

4

3

）
∴AM=

10

3

由△MAB∽△MDA得MA：MD=MB：MA
∴MB?MD=MA²=

100

9

．