Question

若函数f（x）=x3-3x+a有3个不同的零点，则实数a取值范围是______

若函数f（x）=x3-3x+a有3个不同的零点，则实数a取值范围是______．

Answer 1

解答：∵f′（x）=3x²-3=0
解得x=1或x=-1，
当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（-1，1）上单调递减；
当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，-1）、（1，+∞）上单调递增，
故当x=1时，f（x）取极小值-2+a，当x=-1时，f（x）取极大值2+a，
∵f（x）=x³-3x+a有三个不同零点，
∴

?2+a＜0 2+a＞0

，解得-2＜a＜2
∴实数a的取值范围是：（-2，2）．
故答案为：（-2，2）

Answer 2

解答：∵f′（x）=3x2-3=0
解得x=1或x=-1，
当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（-1，1）上单调递减；
当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，-1）、（1，+∞）上单调递增，
故当x=1时，f（x）取极小值-2+a，当x=-1时，f（x）取极大值2+a，
∵f（x）=x3-3x+a有三个不同零点，
∴

?2+a＜0
2+a＞0

，解得-2＜a＜2
∴实数a的取值范围是：（-2，2）．
故答案为：（-2，2）