Question

已知定义在正实数集上的函数f（x）满足①若x＞1，则f（x）＜0；②f(12)=1；③对定义域内的任意实数x，y，

已知定义在正实数集上的函数f（x）满足①若x＞1，则f（x）＜0；②f(12)=1；③对定义域内的任意实数x，y，都有：f（xy）=f（x）+f（y），则不等式f（x）+f（5-x）≥-2的解集为 ______．

Answer 1

∵f(

1

2

)=1
∴2=2f(

1

2

)=f（

1

4

）
令x=y=1
∴f（1）=0
∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴不等式f（x）+f（5-x）≥-2可转化为：
f（x（5-x））+f（

1

4

）≥0
∴f（

1

4

x（5-x））≥f（1）
设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂
∴f（x₂）=f（

x2

x1

?x1）=f（

x2

x1

）+f（x₁）
∴f（x₂）-f（x₁））=f（

x2

x1

）＜0
∴f（x）是减函数
∴

x＞0 5?x＞0 1 4 x(5?x)≤1

解得：0＜x≤1或4≤x＜5
故答案为：（0，1]∪[4，5）