Question

用放缩法证明不等式时，常用的缩放技巧或不等式有哪些

Answer 1

1、放缩法定义：
为放宽或缩小不等式的范围的方法。
2、常用方法
a.常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大）
b.“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，
c.“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。

Answer 2

关于缩放技巧，以下举两例吧!

(1)
已知a、b∈R，求证
|a+b|/(1+|a|+|b|)≤|a|/(1+|a|)+|b|/(1+|b|).
因为0≤|a+b|≤|a|+|b|，所以
|a+b|/(1+|a+b|)
=1-1/(1+|a+b|)
≤1-1/(1+|a|+|b|)
=(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|)
=|a|/(1+|a|+|b|)+|b|/(1+|a|+|b|)
≤|a|/(1+|a|)+|b|/(1+|b|).
故不等式得证.

(2)
证明1+1/√2+1/√3+...+1/√n<2√n.
∵√k-√(k-1)
=1/[√k+√(k-1)]
>1/(√k+√k)
=1/(2√k)，
即1/√k<2[√k-√(k-1)] (k=1,2,...,n)
于是，
1<2(√1-√0)，
1/√2<2(√2-√1)，
……
1/√n<2[√n-√(n-1)]
以上n个同向不等式相加，得
1+1/√2+1/√3+...+1/√n<2√n。