Question

判断 广义积分的敛散性 ∫上限正无穷下限e lnx/x dx

Answer 1

　　由敛散性的性质可得∫1/x dx=lnx，所以得到∫ lnx /x dx=∫ lnx d(lnx)=0.5(lnx)²代入积分的上下限正无穷和e显然x趋于正无穷时，lnx仍然趋于正无穷，因此广义积分是发散的。
　　定积分概念的推广至积分区间无穷和被积函数在有限区间上为无界的情形成为广义积分，又名反常积分。其中前者称为无穷限广义积分，或称无穷积分；后者称为无界函数的广义积分，或称瑕积分。
　　设函数f(x)定义在[a,b)上，而f(x)在x=b的任一左邻域内f(x)无界（此时称x=b为f(x)的瑕点）。若f(x)在任意[a,b-ε](0<ε<b-a)上可积，我们称积分形式∫(a → b) f(x)dx为f(x)在[a,b)上的瑕积分。
　　类似可定义a为瑕点时的瑕积分。
　　又设c∈(a,b),函数f(x)以点c为暇点，那么当两个反常积分∫(a → c) f(x)dx和∫(c → b) f(x)dx均收敛时，反常积分∫(a → b) f(x)dx收敛。其值定义为：
　　∫(a → b) f(x)dx=∫(a → c) f(x)dx+∫(c → b) f(x)dx
　　=lim(ε →0+)∫[a→c-ε] f(x)dx+lim(ε →0+)∫[c+ε →b] f(x)dx,
　　否则该反常积分发散

Answer 2

显然 ∫1/x dx=lnx
所以得到
∫ lnx /x dx
=∫ lnx d(lnx)
=0.5(lnx)²

代入积分的上下限正无穷和e
显然x趋于正无穷时，lnx仍然趋于正无穷，
故此广义积分是发散的