Question

2014宝山区、嘉定区初三二模数学25题详解

25．（本题满分14分，第(1)小题4分， 第 (2)小题6分，第 (3)小题,4分）
在△ABC中，AB=AC=10，cosB=
5
4（如图11），D、E为线段BC上的两个动点，且DE=3（E在D右边），运动初始时D和B重合，运动至E和C重合时运动终止.过E作
EF∥AC交AB于F，联结DF.
（1）若设BD=x，EF=y，求y关于x的函数，并求其定义域； （2）如果△BDF为直角三角形，求△BDF的面积；
（3）如果MN过△DEF的重心，且MN∥BC分别交FD、FE于M、N（如图12）． 求整个运动过程中线段MN扫过的区域的形状和面积（求详解）

Answer 1

作AH⊥BC于H,FG⊥BC于G,在△ABC中，AB=AC=10，cosB=4/5，

∴CH=BH=8，AH=6，
(1)BD=x，DE=3（E在D右边）,

∴BE=x+3,
EF∥AC,

∴EF/AC=BE/BC,
∴y=EF=AC*BE/BC=5(x+3)/8,
由BE<=BC得0<=x<=13.
(2)BF=EF,△BDF为直角三角形，分两种情况：
1）BD⊥DF,△BDF∽△BHA,易知DF=3BD/4=3x/4,
由勾股定理，BF=5x/4=5(x+3)/8,x=3,
∴△BDF的面积=（1/2）3*9/4=27/8.

2）BF⊥FD,BF=4x/5=5(x+3)/8,32x=25x+75,7x=75,x=75/7,
DF=3x/5=45/7,
∴△BDF的面积=（1/2）(75/7)(45/7)=3375/98.
(3)MN过△DEF的重心，且MN∥BC分别交FD、FE于M、N,

∴FM/MD=FN/NE=2，MN=(2/3)DE=2，
当D与B重合时M、N的位置分别为M0、N0，
当E与C重合时M、N的位置分别为M1、N1，
由M0N0∥=M1N1知四边形M0N0N1M1是平行四边形，
BM0=5/8，CN1=10/3，
∴平行四边形M0N0N1M1的面积=2（10/3-5/8）*3/5=13/4.