Question

证明：|arctanA-arctanB|<=|a-b|

Answer 1

要证：|arctanA-arctanB|<=|a-b|。

只要证：|arctanb-arctana|/|b-a|≤1

取f(x)=arctanx，则存在ε属于[a,b]使：

f'(ε)=(arctanb-arctana)/(b-a)=1/(1+ε^2)

显然|f'(ε)|≤1。

故原式成立，也就是：|arctanA-arctanB|<=|a-b|。

扩展资料：

正切函数y=tanx在开区间（x∈(-π/2,π/2)）的反函数，记作y=arctanx 或 y=tan-1x，叫做反正切函数。它表示(-π/2,π/2)上正切值等于 x 的那个唯一确定的角，即tan(arctan x)=x，反正切函数的定义域为R即(-∞，+∞)。反正切函数是反三角函数的一种。

不等式的证明方法

（1）比较法：作差比较：.

作差比较的步骤：

①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。

②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。

（2）反证法：正难则反。

（3）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。

（4）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元和代数换元。

Answer 2

证明：
∵正切函数y=tanx在（-，）上单调递增，
∴其反函数y=arctanx在R上也单调递增，
不妨设，a≥b，原不等式可化为：arctana-arctanb≤a-b，
因此，原不等式等价为：arctana-a≤arctanb-b，-----①
要证不等式①成立，只需构造函数，f（x）=arctanx-x，x∈R，
f‘（x）=-1=-≤0恒成立，
所以，f（x）在R上单调递减，
由于a≥b，所以f（a）≤f（b），
即arctana-a≤arctanb-b，
所以，|arctana-arctanb|≤|a-b|．
说明：本题也可以利用“拉格朗日中值定理”证明．

Answer 3

设y=arctanX 求导则y‘=1/（1+X） 由拉格朗日中值定理得|arctanA-arctanB|=（1/（1+X））|a-b| 也可以理解为斜率|arctanA-arctanB| /|a-b|=1/（1+X） 而|arctanA-arctanB|=（1/（1+X））|a-b|≤|a-b| 所以原试成立。

Answer 4

在这里A应该对应的a对吧。此前提下，不妨设A>B.
因为 arctanx 和 x 都是递增函数，原证明变成了
arctanA-arctanB<=A-B，即A-arctanA>=B-arctanB
即证函数 x-arctanx 是递增的。对它求导可知导函数为 1-1/(1+x^2)>=0,
故x-arctanx 是递增的，那么原不等式也成立。

Answer 5

证明：|arctanx-arctany|<=|x-y| (改题了).①
证：不妨设x>y,arctanx是增函数，
∴arctanx-arctany>0,
由导数中值定理，
(arctanx-arctany)/(x-y)=(arctanx)"|x=θ
=1/（1+θ^2）<=1,其中y<θ<x,
∴arctanx-arctany<=x-y,
∴①成立。