Question

已知函数f（x）=2sinx·sin(π/2+x)+cos2x （1）求f(x)的最小正周期 （2

已知函数f（x）=2sinx·sin(π/2+x)+cos2x
（1）求f(x)的最小正周期
（2）求f(x)在区间 [ -π/6，π/2 ] 上的最大值和最小值

Answer 1

你好：
f（x）=2sinx·sin(π/2+x)+cos2x
=2sinx·cosx+cos2x
=sin2x+cos2x
=√2(√2/2sin2x+√2/2cos2x)
=√2sin(2x+π/4)
T=2π/2=π

追问

这是第一问吗？

追答

是，
第二问：
-π/2≤2x+π/4≤π/2
得-3π/8≤x≤π/8
f(x)在[ -3π/8+πk，π/8 +πk],k∈Z,上递增;
π/2≤2x+π/4≤5π/8
得π/8≤x≤5π/8
f(x)在( π/8+πk，5π/8 +πk］,k∈Z,上递减；
-3π/8<-π/6,
π/2<5π/8,
∴f(x)最大=f(π/8)=√2;
f(-π/6)=√2·(√2-√6)/4；
f(π/2)=-1;
∴f(x)最小=-1

Answer 2

(1)
2sinx·sin(π/2+x)+cos2x
=2·sinx·cosx+cos2x
=√2(√2/2·sin2x+√2/2·cos2x)
=√2·sin(2x+π/4)
T=2π/|w|=2π/2=π
(2)
-π/2≤2x+π/4≤π/2
得-3π/8≤x≤π/8
f(x)在[ -3π/8+πk，π/8 +πk],k∈Z,上递增;
π/2≤2x+π/4≤5π/8
得π/8≤x≤5π/8
f(x)在( π/8+πk，5π/8 +πk］,k∈Z,上递减；
-3π/8<-π/6,
π/2<5π/8,
∴f(x)max=f(π/8)=√2;
f(-π/6)=√2·(√2-√6)/4；
f(π/2)=-1;
∴f(x)min=-1

追答

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