Question

如题。例四。第二个选项，行列式为零，线性相关为何还能做基础解系？

Answer 1

A(mxn)x=0,m个方程，n个未知数。r(A)=n-3,m≥n-3，至少有0解。将方程组，看成n-3个未知数的方程，将另外3个当做已知数，可以得到唯一的解，共n-3个，因此解是：比如
η1
η2
η3
f4（η1，η2，η3）
f5（η1，η2，η3）
......
fn（η1，η2，η3）
所有解可以从η1，η2，η3线性组合得到，η1，η2，η3必须是线性无关的，是一个基础解系。
只要3个解向量相互之间线性无关，都可以做基础解系。
（1）肯定可以，因为已知η1，η2，η3线性无关，理由如上。
（2）η1-η2，η2-η3, η3-η1,由于η3-η1=-[(η1-η2)+(η2-η3)]=-(η1-η2)-(η2-η3),相互之间有线性关系，不可以做基础解系。证明如下：设
η1-η2=a，η2-η3=b, η3-η1=c
这3个向量，不能表示η1，η2，η3中的任意一个：
设η1=ia+jb+kc=i(η1-η2)+j(η2-η3)+k(η3-η1)=(i-k)η1+(j-i)η2+(k-j)η3
i-k=1,j-i=0,k-j=0
由后面2式，i=j,k=j,i-k=0,与第一式矛盾。
（3）η1，η1+η2+η3，η1+η2，第二项有η3，是前后项没有的，它不可能由前后项线性组合得到。前后项的后项有η2是第一项没有的，它们也不可能线性相关。因此这三个向量，不可能线性相关。但是都是η1，η2，η3的组合，是解。因此可以做基础解系。
（4）等秩的向量组，但是没有说是方程的解向量，不明确。如果是解向量，等秩，说明也是3个线性无关的解向量，也是可以作为基础解系的。
（5）其实是值得分析的。原因如下：
两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价。
注：

1、等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。假设R（η1，η2，η3）与R（B）等价，其中η1，η2，η3线性无关，向量个数不一样，则B中的向量个数必然大于3（不相关向量组的向量个数），可以证明如下：
设b中只有两个向量x1，x2，相互无关，则：
η1=a1x1+b1x2
η2=a2x1+b2x2
η3=a3x1+b3x2
由前面二式，可以用η1、η2表示x1，x2，代入第三式，η3就可以用η1、η2表示，与η1，η2，η3矛盾。根据下面的第4条也可以证明这一条。
线性相关性不一样，是说B中向量个数大于3之后，B里面的向量是相关的。这是必然的，因为最大无关组只有3个向量，如η1，η2，η3。但是，既然无关的η1，η2，η3可以用B中的向量表达，则B中至少有一个最大无关向量组，也是3个向量（下面第2、3、4条）。用这3个无关向量，可以组成一个基础解系。

2、任一向量组和它的极大无关组等价。

3、向量组的任意两个极大无关组等价。

4、两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。

5、等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。

6、如果向量组A可由向量组B线性表出，且R（A）=R（B），则A与B等价。
因此，等价向量组中是有部分（线性无关）向量组，可以用作基础解系的。