Question

方程3^x+4^x=5^x的解的为是多少(请给出详细的解题过程)

Answer 1

这是个超越方程，也没有什么特别好的解法。 由于3, 4, 5是一组勾股数，不难得到一个解x = 2。我们还要说明这个解是唯一的（实根）。 再看函数 f(x) = 3^x + 4^x - 5^x f(x) = 0 当且仅当 g(x) = 1 + (4/3)^x - (5/3)^x = 0 对g(x)求导 g'(x) = ln(4/3) * (4/3)^x - ln(5/3) * (5/3)^x 对g'(x)作类似处理，令 h(x) = ln(4/3) - ln(5/3) * (4/5)^x 则g'(x) = 0 当且仅当 h(x) = 0，且h(x)与g'(x)单调性相同。 不难看出h(x) = 0有唯一解。 从而不难得到g'(x)单调性。进而可得到g(x)的单调性，从而判断g(x)实根唯一。 所以f(x)实根唯一。 参见：http://zhidao.baidu.com/question/9442330.html

Answer 2

通过观察得知2是方程的1个根，再把原方程化为 （3/5)^x+(4/5)^x=1 因为（3/5)^x+(4/5)^x均大于0,且同时大于1或同时小于1,或同时等于1 所以（3/5)^x与(4/5)^x=1除2以外不会再有其他根了