Question

考试中，求帮助！！n元齐次线性方程组Ax=0，若R(A)=r，则该方程组的基础解系中向量的个数为？

Answer 1

因为 r(A)=r，所以 Ax=0 的基础复解系含 n-r 个解向量。

对Ax=0 的任一个解向量，都可由它的制任意n-r个线性无关的解向量线知性表示。

所以该方程组的基础解系中向量的个数为n-r个。

扩展资料：

1、线性方程组的表达：

矩阵表达：AX=b,A为系数矩阵

向量表达：x1α1+x2α2+……xnαn=b, αi为系数矩阵A的列向量

2、AX=0的基础解系：

齐次方程组AX=0的全体解向量构成解空间，解空间的一组基称为基础解系。

基础解系的求法：

（1）对A作行初等变换，化为最简阶梯形

（2）写出原方程组的同解方程组

（3）取定自由未知量，得基础解系

a.每个非零行中第一个非零系数所代表的变量是主元，共R(A)个，剩余的变量就是自由变量，共n-R(A)个；

b.在最简阶梯形矩阵中找出秩为R(A)的行列式，那么其他各列的变量就是自由变量

3、齐次线性方程组的解的判定：

(1)AX=0只有零解：R(A)=n

(2)AX=0有无穷多个非零解：R(A)=r<n

A的列向量线性相关：

特别的：n阶矩阵AX=0有无穷多个非零解，|A|=0。

注意：若AB=0，则B的每一列都是AX=0的解。

当B≠0时，意味着AX=0有非零解，进而R(B)≤n-R(A),R(A)+R(B)≤n。