计算二重积分∫∫D（xsiny/y）dxdy,其中D是由曲线y=x和y=x^2围成的平面 15
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解：先求曲线交点以确定积分区域的范围：联立y=x与y=x^2,解得交点为(0,0)与(1,1)
再观察被积函数的形式确定二重积分分解的顺序，因为siny/y的原函数不是初等函数，因此不能先对y积分，考虑先对x积分
在(0,0)与(1,1)之间，沿x轴先出现y=x，再出现y=x^2，且y>=0故有：
原式=∫(0→1)sin(y)/ydy∫(y→sqrt(y))xdx=∫(0→1)(1/2)*(y-y^2) *sin(y)/ydy
=(1/2)∫(0→1)(sin(y)-ysin(y))dy
=-(1/2)*cos(1)+(1/2)+(1/2)*cos(1)-(1/2)*sin(1)
=(1/2)-(1/2)*sin(1)
再观察被积函数的形式确定二重积分分解的顺序，因为siny/y的原函数不是初等函数，因此不能先对y积分，考虑先对x积分
在(0,0)与(1,1)之间，沿x轴先出现y=x，再出现y=x^2，且y>=0故有：
原式=∫(0→1)sin(y)/ydy∫(y→sqrt(y))xdx=∫(0→1)(1/2)*(y-y^2) *sin(y)/ydy
=(1/2)∫(0→1)(sin(y)-ysin(y))dy
=-(1/2)*cos(1)+(1/2)+(1/2)*cos(1)-(1/2)*sin(1)
=(1/2)-(1/2)*sin(1)
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