计算第二型曲面积分ydz^dx+(z+1)dx^dy,,其中为圆柱面x^2+y^2=4被平面x+z=2和z=0所截部分的外侧 10
Σ = Σ1(左侧) + Σ2(右侧)、作zx面上的积分
Σ1：y ≤ 0、y = - √(4 - x^2)
Σ2：y ≥ 0、y = √(4 - x^2)
0 ≤ z ≤ 4
∫∫Σ (- z - 1) dxdy = 0
∫∫Σ1 ydzdx = ∫∫Σ1 - √(4 - x^2)dzdx，左侧
= - ∫∫D1 - √(4 - x^2) dzdx = ∫∫D1 √(4 - x^2) dzdx
= ∫(- 2→2) dx ∫(0→2 - x) √(4 - x^2) dz = 4π
∫∫Σ2 ydzdx = ∫∫Σ1 √(4 - x^2) dzdx，右侧
= ∫∫D2 √(4 - x^2) dzdx
= ∫(- 2→2) dx ∫(0→2 - x) √(4 - x^2) dz = 4π
于是IΣ = 4π + 4π = 8π
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第二类曲面积分信姿。
如果曲面的bai外法向和对应坐标轴的正向一致du，则第二类曲面积分转为重积zhi分时斗伍取正滑销绝号，否则负号。
具体到图中问题，由积分微元dxdy可知需要考察的是与z轴正向的关系（同理，∫∫dydz则考虑与x轴正向的关系），题中指明曲面是下侧，其法向如图中向下箭头所示，显然与z的正方向相反，于是结果取负号。
如图：
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第一型曲面积镇宽渗分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。第二型曲面积分物理意御脊义来源对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量。
当动线作不规则运动时，形成的曲面称为不规则曲面。形成曲面的母线可以是直线，也可以是曲线。
同一个曲面可能由几种不同的运动形式形成。如bai圆柱面巧迅，即可以看做是直线绕着与之平行的轴线做旋转运动而成，也可以看做是一个圆沿轴向平移而形成的。
平面Σbai1：z + x = 2，取上侧
和平面Σ2：z = 0，取下侧du，围成封闭立zhi体的外侧
∫∫Σ0 ydzdx - (z + 1)dxdy
= ∫∫∫Ω (1 - 1 - 0) dxdydz = 0
∫∫Σ1 ydzdx - (z + 1)dxdy = ∫∫Σ1 (- z - 1)dxdy，上侧
= - ∫∫D (2 - x + 1) dxdy = - 3∫∫D dxdy + 0 = - 12π
∫∫ Σ2 ydzdx - (z + 1)dxdy = ∫∫Σ2 (- z - 1)dxdy，下侧
= - ∫∫D (- 0 - 1) dxdy = ∫∫D dxdy = π * 2^2 = 4π
IΣ + IΣ1 + IΣ2 = IΣ0
IΣ + (- 12π) + (4π) = 0
于是IΣ = 8π
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（1）对弧长的曲线积分 （第一类曲线积蔽升分）
（2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）
两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是或乎弧长元素ds；衫并悉例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy；
例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号
简者首世首肢单计算芹历一下即可，答案如图所示
