Question

求由1-9这9个数字组成一个9位数,前N位可以被N整除. 解答中 又7能整除A8C654G,故7整除（A+4C+G）咋算的？

由1-9这9个数字组成一个9位数,第一位数可以被1整除；前两位组成的数可以被2整除；前三位组成的数可以被3整除,前四位组成的数可以被4整除,前五位组成的数可以被5整除,前六位组成的数可以被6整除,前七位组成的数可以被7整除,前八位组成的数可以被8整除,这个9位数可以被9整除
解答中“又7能整除A8C654G,故7整除（A+4C+G）”,这一句咋算的？

解答：设这个数为ABCDEFGHI 其实第5位E一定是5,进一步分析,偶数位一定是偶数（BDFH={2,4,6,8}）,奇数位一定是奇数（ACGI={1,3,7,9}）.继续分析,4能整除 10*C+D,故D=2 或 6,加之8能整除 10*G+H,故D,H={2,6},所以B,F={4,8}.接着分析,3 能整除 100* D+ 10 * 5+ F,所以DEF={258 ,654},ABC,GHI能被3整除 如果DEF=258,则,ABC={147,741},GHI={369,963},但1472589,7412589均不能被7整除,不符合条件,故DEF=654,B=8,H=2.
又7能整除A8C654G,故7整除（A+4C+G）,这一句咋算的？
而G={3,7},如果G=3,ABC为{189,789,981,987}均不满足条件,故G=7,此时ABC={183,189,381,981}中只有381符合条件,故ABCDEFGHI=381654729
又7能整除A8C654G,故7整除（A+4C+G）,这一句咋算的？

Answer 1

对于任意一个整数，无论有多少位，由同余的性质可以推导出一个判断能否被7整除的原则：从右边第一位数开始，每个位数依次与1，3，2，6，4，5，1，3，2，6，4，5，…相乘，然后相加的和能被7整除，则这个整数能被7整除。

对与一个7位数ABCDEFG，如果能被7整除，根据上面的原则，

有A+5B+4C+6D+2E+3F+G 的和能被7整除，

因为5B+6D+2E+3F=5X8+6X6+2X5+3X4=40+36+10+12=98，98能被7整除，

所以A+4C+G的和也要能被7整除。

ps. 关于同余的性质，请百度。。