Question

这道数学题求解！本人还没学到第二换元积分法，只学到第一换元积分法。

Answer 1

这道题只需要用第一换元积分法。
解法1.
令u=sinx,则du=cosxdx
∫(sinx*cosx) dx=∫sinx d(sinx)=∫udu=(1/2)u^2+C=(1/2)(sinx)^2+C1

解法2.
令v=cosx,则dv=-sinxdx
∫(sinx*cosx) dx=-∫cosx d(cosx)=-∫vdv=-(1/2)v^2+C=-(1/2)(cosx)^2+C2

因为-(1/2)cosx)^2+C2=-（1/2）[1-(sinx)^2]+C2=(1/2)(sinx)^2-(1/2)+C2
所以，这里的C2=C1+(1/2).

解法3.
∫(sinx*cosx) dx=（1/2）∫2sinxcosx dx=(1/2)∫sin(2x)dx
令t=2x,则dt=2dx
∫(sinx*cosx) dx=(1/4)∫sint dt=-(1/4)cost+C3=-(1/4)cos(2x)+C3
=-(1/4)[(cosx)^2-(sinx)^2]+C3=(1/4)[(sinx)^2-(cosx)^2]+C3
因为
(1/4)[sinx)^2-(cosx)^2]+C3=（1/4）[1-2(cosx)^2]+C3
=-(1/2)(cosx)^2+(1/4)+C3
(1/4)[(sinx)^2-(cosx)^2]+C3=(1/4)[2(sinx)^2-1]+C3
=(1/2)(sinx)^2-(1/4)+C3
所以 C3=C1+(1/4)=C2-(1/4).

Answer 2

让我想几天