Question

第7题后两个空，求过程。谢谢。

Answer 1

第二空＞1，用导数定义，f'(0)=lim[f(x+△x)-f(0)]/△x=limx^(a-1)sin(1/x)

追答

第三空＞2，除x=0外，f(x)连续，可以直接求导，已求得f'(0)=0，
f'(x)=ax^(a-1)sin(1/x)-x^(a-2)cos(1/x)，后面求法和一个空一样了

追问

那个，第二个空除了0的0次幂是1其他次幂应该都是0吧，那么a≠1不就好了吗

0的0次幂和负次幂没意义…没事了感谢。

追答

不是这么算的，不定型不能代入△x=0

无穷小的正数次幂才是0，负数次幂是无穷大

0^0也是不定型，计算之后极限是可能存在的

追问

恩，第二个空就是一个无穷小乘以一个有界量所以α-1>0对吧

追答

对的，三个空都要是无穷小*有界形式

Answer 2

f(x) = x^α.sin(1/x) ; x>0
=0 ; x≤0

f(0-)=f(0) =0
lim(x->0+) f(x)
=lim(x->0+) x^α.sin(1/x)
= f(0)=0
=>α≥1

f'(0-)=0
f'(0+)
=lim(h>0+) [h^α.sin(1/h) -f(0)] /h
=lim(h>0+) h^(α-1).sin(1/h)
=0
=>
α-1≥1
α≥2

追问

第二个空，只要f'(0+)=0就行吧，那么α≠1不就行了吗为什么得>1

追答

lim(x->0+) f(x)
=lim(x->0+) x^α.sin(1/x)
=lim(x->0+) x^α.sin(1/x)
|sin(1/x)| ≤1
lim(x->0+) x^α =0
=>α>0

f'(0-)=0
f'(0+)
=lim(h>0+) [h^α.sin(1/h) -f(0)] /h
=lim(h>0+) h^(α-1).sin(1/h)
=0
=>
α-1>0
α>1

追问

0的0次幂和负次幂没意义…没事了感谢。

Answer 3

好乱，看不清

追问

这样呢