Question

行列式按行依次为(5 3 0 0……0 0)(2 5 3……0 0)(0 2 5……0 0)……(0 0 0……5 3)

(0 0 0……2 5)求解~

Answer 1

这是带形行列式,按第1列展开,找到递推关系
Dn=5Dn-1 - 6Dn-2

即
Dn - 2Dn-1 = 3(Dn-1 - 2Dn-2)
以及
Dn - 3Dn-1 = 2(Dn-1 - 3Dn-2)

因此，分别得到：
Dn - 2Dn-1 = 3^(n-2)(D2-2D1) = 3^(n-2)(5^2-6-2*5) = 3^n 【1】
Dn - 3Dn-1 = 2^(n-2)(D2-3D1) = 2^(n-2)(5^2-6-3*5) = 2^n 【2】
【1】式乘以3，减去【2】式乘以2，得到
Dn = 3^(n+1)- 2^(n+1)

Answer 2

我们记F(N)为行有N个元素的行列式的值
通过简单的推导，(代数余子式，行展开，列展开都可以)，我们不难得到有
F(N)=5F(N-1)-6F(N-2)
这个递推公式可以通过特征方程求解。(这个我不太懂，但是能用就行。)
x^2=5x-6 => x1=2, x2=3
此时可以得到通项公式
F(N)=A*2^N+B*3^N
又因为F(1)=5, F(2)=19
我们可以得到A=-2, B=3
所以通项公式就是
F(N)=3^(N+1)-2^(N+1)