Question

数学圆锥曲线题：第一问怎么写

Answer 1

由题意可知椭圆的焦半径c=1；因此椭圆方程可写为 x²/a²+y²/(a²-1)=1...........(1)
园(x-1)²+y²=1的园心为F₂(1，0)；半径R=1；
设动园的圆心坐标为(x，y); 那么有等式：√[(x-1)²+y²]=x+1
展开化简即得曲线C的方程为：y²=4x，这是一条开口朝右，顶点在原点的抛物线。
将y²=4x代入椭圆方程得：x²/a²+4x/(a²-1)=1;
展开得(a²-1)x²+4a²x=a²(a²-1)
(a+1)(a-1)x²+4a²x-a²(a+1)(a-1)=[(a+1)x-a(a-1)][(a-1)x+a(a+1)]=0
故得曲线C与椭圆在第一象限的交点P的横坐标x=a(a-1)/(a+1)，纵坐标y=2√[a(a-1)/(a+1)]
【因为c=1，所以a>1】
交点P与椭圆右焦点F₂(1，0)的距离的平方∣PF₂∣²=[a(a-1)/(a+1)-1]²+4a(a-1)/(a+1)=25/9
展开化简得 a(a-1)/(a+1)+1=5/3；a(a-1)/(a+1)=2/3；得3a²-5a-2=(3a+1)(a-2)=0
故得a=2，b²=3；于是得椭圆方程为 x²/4+y²/3=1.
【因为你只问第一问，所以第二问不作了】