Question

一道高数的多元函数求极值的题目。在线等:大神解答

Answer 1

切平面方程没错 是 2x0(x-x0)+2y0(y-y0)+z-z0=0
但你计算的四面体和各轴的交点不对
如z轴交点取 x=0,y=0 得到z=z0+2x0²+2y0² ,将z0=2-x0²-y0²，得到的是2+x0²+y0²
x轴截距是 (2+x0²+y0²)/(2x0),y轴截距是 (2+x0²+y0²)/(2y0),z轴截距是x轴截距是 2+x0²+y0²
所以体积V=(2+x0²+y0²)³/(24x0y0)
注意x0和y0的限制为（x0,y0,z0)在第一卦限 ，所以限制条件为 x0>0,y0>0 ，z0=2-x0²-y0²>0
取x0=rcost,y0=rsint 那么0<r<√2,0<t<π/2
V=(2+r²)³/(24r²costsint)=(2+r²)³/(12r²sin2t)
同样的r明显t=π/4时最小 V= (2+r²)³/(12r²)
我们仅需检查0<r<√2是V(r)= (2+r²)³/(12r²)的最小值即可
V(r)= (2+r²)³/(12r²)=2/(3r²)+1+(1/2)r²+（1/12）r^4
V'(r)=-4/(3r³)+r+（1/3）r³=(-4+3r^4+r^6)/(3r³)=(r-1)(r+1)(r²+2)²/(3r³)
V''(r)=4/(r^4)+1+r²>0
仅r=1时V'(r)=0且 V''(r)>0 所以r=1 时V(r) 取到最小值
x0=cos(π/4)=（1/2）√2
y0=sin(π/4)=（1/2）√2
z0=2-x0²-y0²=1