Question

高等数学 证明极限

Answer 1

证明 1.> l设an=上式,显然an>0
故 an-2= -2/(根号下(2+an) +2)<0恒成立
∴ an<2
∴ 0<根号下(2+an) <2
又 a(n+1) -an= 根号下(2+an) -an
=- (根号下(2+an) +1)(根号下(2+an) -2)
<0
从而数列｛an｝为单调递增数列且有上确界
而单调有界数列必有极限，故命题得证

2> 先作如下变换 那个趋近于0不好写，你自己加上
原表达式 =lim e^(In(1+x)^1/2)
= lim e^[In(1+x)/2]
=lime^[In(1+0)/2]
=1
3> 不妨设1/x的整数和小树部分分别为 m, n
显然x→0+时，显然m→+∞
∴ 1/x =m+n (0<=n<1)
∴ x = 1/(m+n)
[1/x]=m
∴ 原表达式= lim m/(m+n) （m→+∞）
=lim(1 - n/(m+n)) （m→+∞）
=1
证毕