设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角. (1)证明:B
设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.(1)证明:B-A=π/2(2)求sin A+sin C的取...
设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.
(1)证明:B-A=π/2
(2)求sin A+sin C的取值范围.
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(1)证明:B-A=π/2
(2)求sin A+sin C的取值范围.
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由a=btanA,得a/b=tanA,sinA/sinB=tanA,sinB=cosA=sin(π/2-A)
由B是钝角,得π-B=π/2-A,即B-A=π/2
sinA+sinC
=sinA+sin(π-A-B)
=sinA+sin(π/2-2A)
=sinA+cos2A
=1+sinA-2(sinA)^2
由于C=π-A-B=π/2-2A>0,所以A<π/4,故0<sinA<√2/2
得1+sinA-2(sinA)^2最大值为顶点值9/8,当sinA=√2/2时有最小值√2/2
故√2/2<sinA+sinC<9/8
由B是钝角,得π-B=π/2-A,即B-A=π/2
sinA+sinC
=sinA+sin(π-A-B)
=sinA+sin(π/2-2A)
=sinA+cos2A
=1+sinA-2(sinA)^2
由于C=π-A-B=π/2-2A>0,所以A<π/4,故0<sinA<√2/2
得1+sinA-2(sinA)^2最大值为顶点值9/8,当sinA=√2/2时有最小值√2/2
故√2/2<sinA+sinC<9/8
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