Question

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan A，且B为钝角． (1)证明：B

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan A，且B为钝角．

(1)证明：B－A＝π/2
(2)求sin A＋sin C的取值范围．
答案

Answer 1

由a=btanA,得a/b=tanA,sinA/sinB=tanA,sinB=cosA=sin(π/2-A)
由B是钝角，得π-B=π/2-A，即B-A=π/2
sinA+sinC
=sinA+sin(π-A-B)

=sinA+sin(π/2-2A)
=sinA+cos2A
=1+sinA-2(sinA)^2
由于C=π-A-B=π/2-2A>0,所以A<π/4，故0<sinA<√2/2
得1+sinA-2(sinA)^2最大值为顶点值9/8，当sinA=√2/2时有最小值√2/2
故√2/2<sinA+sinC<9/8