Question

高等数学 求偏导问题 最好写下来过程

Answer 1

解：
令u=u(x,y)，
对该式求全微分，则：
du=u'xdx+u'ydy （1）
其中：
u'x=u'x(x,y)，是u(x,y)对x求一阶偏导；
u'y=u'y(x,y)，是u(x,y)对y求一阶偏导；
根据已知要求，将y=2x带入上式，则：
(1)左边
=du=du(x,2x)=dx
(1)右边
=u'xdx+u'yd(2x)
=x²dx+2u'ydx
因此：
dx=x²dx+2u'ydx，得：
u'y=u'y(x,2x)=(1-x²)/2 (2)
令u'=u'x(x,y)，对该函数求全微分，则：
du'=u''xxdx+u''xydy （3）
将y=2x带入上式，则：
（4）式左边
=du'=du'x(x,2x)=d(x²)=2xdx
（4）式右边
=u''xxdx+u''xyd(2x)=u''xxdx+2u''xydx
即：
2xdx=u''xxdx+2u''xydx
2x=u''xx+2u''xy （4）
同理，对（2）求全微分：
du'y(x,y)=u''yxdx+u''yydy
-dx=u''yxdx+2u''yydx
u(x,y)二阶连续偏导，因此混合偏导相等，再结合u''xx(x,2x)=u''yy(x,2x)，则：
-xdx=u''xydx+2u''xxdx
-x=u''xy+2u''xx （5）
联立（4）、（5）得：

u''xx=u''xx(x,2x)= -4x/3
u''xy=u''xy(x,2x)=5x/3