Question

高中数学，不会勿答，这道题我想用面积射影求二面角的余弦值，但是求出来的答案是正确答案的1/2，正确

高中数学，不会勿答，这道题我想用面积射影求二面角的余弦值，但是求出来的答案是正确答案的1/2，正确答案是2√7/7。我是这么算的，由题意得PB＝PC＝2√2，取AD中点E，三角形PED是三角形PBC在面PAD上的投影（因为我认为PC在面上的投影是PD，PB在面上的投影是PE）为1，S原＝√7，cosθ＝S射/S原，哪一步不对？

Answer 1

先别说其他的，你的E点和题目的E点是怎么回事，一样的么？

追问

那就E'

你知道了这个就能答吗

追答

你想错了，首先我算的答案是你给的答案，暂且把你给的点E命名为F(用不着)
连接PE，∠DPE的余弦值就是结果
你说的面积映射少了一部分，我建议不要这么用这种方法，直接去找到那个角求出来就好了
底面是个菱形，你说的PD是PC的投影这里不对，PD⊥CD没错，但AD和CD不垂直，所以PD 并不是PC在面PAD的映射
过C作CG⊥AD交AD的延长线，垂足为G，连接PG，PG才是PC在面PAD的映射

追问

为什么DPE是二面角

追答

ED⊥于面PAD

过P作一条平行AD的直线L，PD⊥AD,则PD⊥直线L，PE⊥AD,则PD⊥直线L
直线L就是两平面的交线

追问

你为什么证了两遍PD垂直于L？有什么定理证明两平面交线的条件？

就是为什么L是两平面交线

追答

哦，后面的是PE⊥直线L

两条线平行，则这两条线处于同一平面，直线L和AD，BC都平行，L和AD在平面PAD上，L和BC在平面PBC上，L不就是两平面的交线么？画个图就明白了
还有你的面积映射只映射了一半，三角形PFG才是三角形PBC在面PAD上的映射

追问

嗯，看来我还不太会映射，所以你能证明下PG是PC在PAD上的映射吗

追答

BF⊥面PAD：BF⊥AD且BF⊥PD，△PFB中∠PFB=90,PF 就是PB的映射

同理CG⊥面PAD：CG⊥AG且CG⊥PD，△PGC中∠PGC=90,PG 就是PC的映射
总之，映射三角形中的某一边和原三角形中被映射的某一边所在的三角形中另外一边必须垂直于映射三角形所在平面

追问

非常感谢